ارزیابی بهره وری متقاطع DEA بر پایه بهبود پارتو

چکیده ارزیابی بهره وری متقاطع DEA بر پایه بهبود پارتو جی.وو جونفی.چو جیاس ن سان کینگ یوآن ژو ارزیابی بهره وری متقاطع به عنوان یک ابزار گسترده برای تحلیل پوششی داده ها (DEA) دارای کاربرد گسترده ای در ارزیابی و رده بندی واحدهای تصمیم گیر ) DMUها( است. متأسفانه ممکن است امتیازهای بهره وری متقاطع تولید شده بهینه- پارتو نباشند که همین امر اثربخشی این روش را کاهش داده است. ما برای حل این مشکل یک رویکرد ارزیابی بهره وری متقاطع مبتنی بر بهبود پارتو پیشنهاد می کنیم که حاوی دو مدل )مدل برآورد بهینگی پارتو و مدل بهبود پارتوی بهره وری متقاطع( و یک الگوریتم می باشد. مدل برآورد بهینگی پارتو برای تخمین این موضوع مورد استفاده قرار می گیرد که آیا مجموعه ای مفروض از امتیازات بهره وری متقاطع می توانند جواب های بهینه- پارتو باشند. اگر این امتیازات بهره وری متقاطع بهینه پارتو نباشند پس مدل بهبود پارتو برای ایجاد بهبود پارتوی بهره وری متقاطع برای تمام DMUها مورد استفاده قرار می گیرد. بر خالف سایر رویکردهای بهره وری متقاطع رویکرد پیشنهادی ما همیشه مجموعه ای از بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو تحت اصول و مبانی از پیش مشخص برای انتخاب وزن برای این DMUها به دست می آورد. عالوه بر این چنانچه الگوریتم پیشنهادی در گام 3 به پایان برسد نتایج ارزیابی تولید شده توسط رویکرد ما تمامی روش های ارزیابی اعم از خود ارزیابی ارزیابی یکجا و ارزیابی وزن مشترک در DEA را به صورت یکپارچه درمی آورد. به ویژه زمانی که الگوریتم به پایان می رسد بهره وری خود ارزیابی و بهره وری ارزیابی شده به صورت یکجا در یک بهره وری ارزیابی وزن مشترک به همگرایی می رسند. این باعث می گردد که نتایج حاصل از ارزیابی از مقبولیت بیشتری از سوی تمامی DMUها برخوردار باشد. 1 مقدمه تحلیل پوششی برای ارزیابی میزان بهره (DEA) که در اصل توسط چارنز کوپر و رودس )1791( مطرح گردید یک روش برنامه ریزی غیر خطی داده 1 وری گروهی از واحدهای تصمیم گیر همگن ) DMUها( با ورودی های چندگانه و خروجی های چندگانه می باشد )کوک هاریسون ایمانیراد روز و ژو 3113 کوک لیانگ ژا و ژو 3117 ایمانیراد کوک آویل س- ساکوتو و ژو 3112 تاناسولیس کورتالن ن جونز و جونز 3111 یانگ لی چ ن و لیانگ 3112(. مهم ترین ایده DEA عبارت است از ایجاد مجموعه ای از وزن های بهینه برای هر DMU در مجموعه ای از DMUهای مفروض به منظور بیشینه سازی نسبت مجموع خروجی های وزن دار به مجموع ورودی های وزن دار آن در حالی که تمام نسبت های DMU در عدد 1 نگه داشته شده اند. این نسبت بیشینه به صورت بهره وری DMU تحت ارزیابی تعریف می شود )وانگ و چین 3111 قاسمی ایگناتیوس و امروزنژاد 3112(. برای بهره وری این DMU در شناسایی بهترین وضعیت و رده بندی DMUها DEA به طور گسترده ای در شبیه سازی و ارزیابی بهره وری مدارس )چارنز کوپر لوین و سیفورد 1772( بیمارستان ها )میتروپلوس تالیاس و میتروپلوس 3112( شعب بانکی )وانگ هوانگ وو و لیو 3112 پارادی روات و ژو 3111( و... پیاده سازی گردیده است. بدین ترتیب مدل های خود ارزیابی رایج DEA با قابلیت انعطاف پذیری در وزن مجموع می توانند بسیاری از DMUها را از منظر بهره وری DEA ارزیابی کنند و نمی توانند هیچ گونه تمایزی بین این DMUهای کارآمد قائل شوند. بنابراین یکی از مهم ترین نقاط ضعف مدل رایج DEA )مثال مدل CCR یا )BCC عبارت است از ناتوانی آن در تمایز قائل شدن بین DMUهایی که همگی به نظر می رسد بهره وری دارند )وانگ و چین 3111(. 1 - Daa Envelopmen Analysis 1

به منظور پیشبرد توان DEA در تمایز قائل شدن بین DMUهای بهره ور سکستون سیلکمن و هوگان )1711( مفهوم ارزیابی هم درجه را وارد DEA کردند و روش ارزیابی بهره وری متقاطع را پیشنهاد کردند. در ارزیابی بهره وری متقاطع هر DMU یک خود ارزیابی بهره وری دارد که از روی پر تکرارترین وزن ها و 1-n بهره وری هم درجه که با استفاده از سایر پر تکرارترین وزن های DMU به دست آمده اند محاسبه شده اند. پس تمامی این بهره وری ها در یک بهره وری نهایی برای DMU تحت ارزیابی جمع آوری می شوند. دست کم سه مزیت بنیادین برای ارزیابی بهره وری متقاطع وجود دارد. نخست این که تقریبا همیشه DMUها را در یک مرتبه منحصربفردی رده بندی می کند )دویله و گرین 1772 (. دوم این که جنبه های وزنی غیر منطقی را بدون هیچ گونه ا عمال محدودیت وزنی حذف می کند )اندرسون هالینگس وورث و اینمان 3113(. و در نهایت این که به طور مؤثری عملکردهای خوب و ضعیف را در بین DMUها تشخیص می دهد )بوسوفیان د یسون و تاناسولیس 1771(. با توجه به این مزیت ها ارزیابی بهره وری متقاطع به طور گسترده ای در ارزیابی عملکرد خانه های پرستار )سکستون 1711( رده بندی عملکرد و انتخاب پروژه )گرین دویله و کوک 1771( گزینش سیستم های تولیدی انعطاف پذیر )شانگ و سویوشی 1772 ( کارشناسی ماشین آالت کنترل عددی رایانه ای مناسب )سان 3113 ( تشخیص اپراتورهای مؤثر و اندازه گیری وظایف نیروی کار در سیستم های تولیدی سلولی )ارتای و دوم ن 3112 ( اجرای رده بندی کشورها در بازی های المپیک )وو لیانگ و چ ن 3117 ( انتخاب تأمین کننده در تدارکات عمومی )ماکرو فابیو نیکوال و روبرتو 3113 ( انتخاب سبد سهام )پورتفولیو( در بازار سهام کره )لیم ا ه و ژو 3112 ( ارزیابی راندمان انرژی برای خطوط هوایی )چوی و لی 3112( و غیره پیاده سازی گردیده است. ارزیابی بهره وری متقاطع DEA در کنار مزیت ها و گستردگی کاربردی که دارد دارای یک سری نقاط ضعف نیز می باشد. به عنوان مثال عدم یگانگی وزن های بهینه DEA می تواند میزان مفید بودن ارزیابی بهره وری متقاطع را کاهش دهد )سکستون 1711 (. به طور ویژه وزن های بهینه تولید شده از مدل های رایج )مثل مدل CCR یا )BCC معموال یکتا نیستند. از این رو امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها به طور دلخواه تولید می شوند )د سپوتیس 3113 (. برای حل این مشکل سکستون )1711( اهداف ثانویه ای را به ارزیابی بهره وری متقاطع وارد کرد. بر پایه این ایده بسیاری از مدل های مربوط به هدف ثانویه پیشنهاد شده اند. به عنوان مثال جهان شاه لو حسین زاده لطفی جعفری و مداحی )3111( از گزینش وزن های متقارن به عنوان یک هدف ثانویه در ارزیابی بهره وری متقاطع استفاده کردند. وو سان ژا و لیانگ )3111( و کانتر راس )3113( مدل های گزینش اوزان را پیشنهاد کردند که در آنها هدف ثانویه عبارت است از بهینه سازی وضعیت رده بندی DMU تحت ارزیابی. لیم )3113( با استفاده از کمینه سازی )یا بیشینه سازی( بهترین )یا بدترین( بهره وری های متقاطع مربوط به DMUهای هم رتبه به عنوان هدف ثانویه مدل هایی را پیشنهاد کرد. در میان مدل های ثانویه رایج ترین و شایع ترین مدل ها عبارتند از مدل های نرم و خشن که به وسیله دویله و گرین )1772( پیشنهاد گردیدند. مهم ترین ایده مدل تهاجمی عبارت است از گزینش مجموعه ای از وزن های بهینه برای هر DMU به نحوی که باعث شود بهره وری های متقاطع سایر DMUها تا حد امکان بزرگ )یا کوچک( شود در حالی که بهره وری خود آن در یک سطح بهینه و قابل ترجیح )بهره وری )CCR نگه داشته شود. لیانگ وو کوک و ژو )3111( با معرفی توابع هدف ثانویه مختلف مدل دویله و گرین )1772( را توسعه دادند. هر تابع هدف ثانویه جدید نماینده یک معیار و شاخص ارزیابی بهره وری است و می تواند در سناریوهای عملیاتی مختلف مورد استفاده قرار گیرد. ایده مشابه این را می توان در کارهای وانگ و چین )3111( مشاهده کرد. آنها مدل های هدف ثانویه رایجی را پیشنهاد کردند ولی بهره وری هدف هر DMU را از نقطه 1 ایده آل به بهره وری CCR تغییر دادند. جدا از استفاده از مدل های هدف ثانویه برای نشان دادن مسئله غیر یکتایی در ارزیابی بهره وری متقاطع در اینجا چند روش دیگر نیز وجود دارند. به عنوان 2

دارای واحدهای ناوردا برای محاسبه امتیازات مربوط به بهره وری متقاطع مثال کوک و ژو )3112( استفاده از یک مدل DEA ضربی 1 را پیشنهاد کردند. مدل آنها می تواند به طور مستقیم هر بیشینه DMU و امتیازات بهره وری متقاطع منحصر بفرد را تولید کند که نیاز به هر مجموعه منحصر بفرد از وزن های بهینه DMU را مرتفع می سازد. نقص عمده دیگر ارزیابی بهره وری متقاطع این است که امتیازات بهره وری متقاطع میانگین ایجاد شده برای DMUها بهینه نیستند )وو 3111 ( که به معنی آن است که به دست آوردن تمام DMUها برای پذیرش این نتایج ارزیابی بهره وری متقاطع پارتو 3 کار دشواری است. برخی از پژوهشگران برای غلبه بر این نقص با استفاده از یک روش ارزیابی وزن های کلی فرض متوسط برای تشخیص امتیازات نهایی بهره وری متقابل را حذف کرده اند. به عوان مثال وو لیانگ و یانگ )3117( DMUها را به عنوان نقش آفرینان در یک بازی مشارکتی در نظر گرفتند که در آن مقادیر تابع مشخصه اعضاء هر طرف بازی به گونه ای تعریف می شود که ارزش خوش ترکیب هر DMU محاسبه شود و وزن های کلی مربوط به نسبت مقادیر خوش ترکیب به منظور تشخیص امتیازات نهایی بهره وی متقاطع مورد استفاده قرار گیرند. لیانگ وو کوک و ژو )3111( روش دیگری برای پذیرفتنی تر کردن نتایج ارزیابی از سوی DMUها ارائه کردند. آنها یک مدل بهره وری متقاطع بازی و یک الگوریتم متناظر پیشنهاد کردند که می تواند امتیازات بهره وری برای DMUها تشکیل دهد. روش لیانگ دارای یک توانایی خوبی برای متقاطع بهینه برای بازی را ایجاد کند و یک نقطه تعادل نش 3 بهبود امتیازات بهره وری متقاطع DMUها است و مشخصه تعادل نش در زمینه امتیازات بهره وری متقاطع بهینه بازی به معنی آن است که هیچ DMU نمی تواند به طور یک طرفه استراتژی گزینش وزن های آن برای بهبود امتیازات بهره وری متقاطع را تغییر دهد. به این ترتیب امتیازات بهره وری متقاطع بهینه تولید شده از روش لیانگ نمی تواند جواب بهینه پارتو را ایجاد کند چرا که اگر وزن های مناسب تری برای هر DMU برای ارزیابی DMUها انتخاب شوند امتیازات باالتر بهره وری متقاطع می تواند برای DMUهای موجود در مکانیسم ارزیابی آنها ایجاد شوند. در این مقاله ما یک رویکرد ارزیابی بهره وری متقاطع DEA بر مبنای بهبود پارتو را پیشنهاد می کنیم. در تمام حالت ها روش پیشنهادی ارزیابی های متقاطع بهینه پارتو برای DMUها ایجاد می کند. عالوه بر این در برخی حالت ها روش ما بهره وری های در ارزیابی متقاطعی را درست می کند که نه تنها بهینه پارتو هستند بلکه ارزیابی جفتی یکپارچه خود ارزیابی و ارزیابی وزن کلی 2 بهره وری متقاطع DEA نیز می باشند. مابقی مقاله به اختصار به این شرح می باشد. بخش) 3 ( یک معرفی مختصری از مدل CCR و روش ارزیابی بهره وری متقاطع رایج ارائه می دهد. بخش )3( مدل ارزیابی بهینگی پارتو و مدل بهبود پارتوی بهره وری متقاطع پیشنهادی را نشان می دهد. بخش )2( الگوریتمی را نمایش می دهد که می تواند برای ایجاد بهره وری های متقاطع بهینه پارتو برای 1 - Muliplicaive 3- efficiency.pareo کارایی پارتو یا بهینه پارتو یک مفهوم در علم اقتصاد است با کاربردهایی در مهندسی و علوم اجتماعی. این اصطالح پس از ویلفردو پارتو به این نام نامیده شد. یک اقتصاد دان ایتالیایی این مفهوم را در مطالعاتش از کارایی اقتصادی و توزیع درآمد استفاده کرد. مفروض است یک تخصیص آغازی از کاالها در میان مجموعه ای از افراد منحصربهفرد. یک تغییر برای تخصیص متفاوت که حداقل وضعیت یک فرد بهتر شود بدون بدتر شدن وضعیت دیگر افراد که این بهبود پارتو نامیده میشود. یک تخصیص وقتی تعریف میشود به عنوان کارایی پارتو یا بهینه پارتو که بهبودهای پارتو نتواند بیشتر شود.[م]. منبع: hps://en.wikipedia.org/wiki/pareo_efficiency 3- equilibrium Nash تعادل نش مفهومی در نظریه بازیها است که کاربرد فراوانی در اقتصاد پیدا کرده و نام آن از نش گرفته شده است..[م]. منبع: 4 - ommon-weigh-evaluaion 3 hps://en.wikipedia.org

DMUها مورد استفاده قرار گیرد. در بخش )2( رویکرد پیشنهادی برای انتخاب پروژه و ارزیابی بهره وری خانه های پرستاری استقرار پیدا می کند. سرانجام این که نتیجه گیری ها و سایر جهت گیری های پژوهشی در بخش )1( ارائه می شوند. 2 مدل CCR و روش ارزیابی بهره وری متقاطع فرض کنید که تعداد DMU n باید ارزیابی شوند و هر (j=1,2,,n) DMU j دارای m ورودی و s خروجی است که به ترتیب Y j=(y 1,y 2,,x sj) T s نمایش داده می شوند. مدل DEA اصلی )مدل )CCR به صورت بردارهای + + m X j=(x 1,x 2,,x mj) T R و R که به وسیله چارنز )1791( پیشنهاد گردید در فرمت برنامه نویسی خطی آن و به شکل زیر نشان داده می شود. ω d = (ω 1d, ω 2d, ω md ) T R + m )1( در مدل )1( متناظر با ورودی و خروجی هستند و شود. 0 μ d = (μ 1d, μ 2d,, μ nd ) T s به ترتیب بردارهای وزنی و + R بردار صفر است. با حل مدل )1( می توانیم راه حل بهینه {ω T d, μ T d } برای d(d=1,2,,n) DMU را به دست آوریم. سپس بهره وری متقاطع DMU j مربوط به DMU d می تواند به صورت رابطه )3( محاسبه )3( پس امتیاز بهره وری متقاطع DMU j به صورت میانگین dj(d=1,2,,n) E در رابطه )3( تعریف می شود. این امتیاز به عنوان یک اندازه بهره وری جدید برای DMU j مورد استفاده قرار می گیرد. E j = 1 E )3( n d=1 dj توجه داشته باشید که وزن های بهینه به دست آمده از مدل )1( نمی تواند برای هر DMU d منحصربفرد باشد. برای حل این مسئله n دویله و گرین )1772( استفاده از مدل های خیرخواهانه و تهاجمی را پیشنهاد کردند که به ترتیب به صورت مدل های )2( و )2( نشان داده می شوند 4

در مدل های )2( و )2( Edd عبارت است از بهره وری CCR مربوط به DMU d که از مدل )1( به دست آمده است. همان طور که می توان از این مدل ها مشاهده کرد هدف مدل خیرخواهانه )2( عبارت است از بیشینه سازی سایر بهره وری های متقاطع DMUها در حالی که مدل تهاجمی )2( تالش دارد تا بهره وری های متقاطع DMUها را کمینه سازی کند. اولویت هر دو مدل عبارت است از نگه داری بهره وری DMU تحت ارزیابی در سطح بهینه از پیش مشخص شده آن )بهره وری.)CCR 3 مدل های ارزیابی بهره وری متقاطع بهینه پارتو هرچند مدل های هدف ثانویه رایج می توانند تعداد جواب های وزن های بهینه امکان پذیر را کاهش دهند )یعنی یک جواب منحصربفرد ارائه دهند( اما در حالت کلی نتایج بهینه پارتو نیستند که این نمی تواند از سوی تمامی DMUها پذیرفتنی باشد. در این بخش برای به دست آوردن بهره وری های متقاطع بهینه پارتو یک مدل تخمین بهینگی پارتو را پیشنهاد می کنیم تا برآورد کنیم آیا امتیازات بهره وری متقاطع مفروض برای DMUها دارای پتانسیل بهبود هستند یا خیر. سپس یک مدل بهبود پارتوی بهره وری متقاطع پیشنهاد می شود تا امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUهای نزدیک تر به بهینگی پارتو به دست آیند. 3-1 مدل تخمین بهینگی پارتو در زمان ایجاد بهبود در امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها DMUها نیاز به آن دارند که n دستگاه از وزن ها را انتخاب کنند تا DMUها را برای امتیازات بهره وری متقاطع بهتر مورد ارزیابی مجدد قرار دهد. بهبود امتیازات بهره وری متقاطع مستلزم در نظر گرفتن تمامی DMUها است چرا که بهینگی CCR می گوید که هیچ DMUیی نمی تواند به خودی خود بهره وری خود را ارتقاء بخشد و به طور کلی اگر هدف عبارت است از بهینگی پارتو پس تمامی DMUها باید در نظر گرفته شوند. در اینجا دو اصل زیربنایی زیر را بیان می کنیم که در این مقاله هر دو به عنوان یک هدف برای تشریح هدفمان مورد نیاز بهینگی پارتو هستند. اصل اول. با دست داشتن مجموعه ای از امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها هنگامی که مجموعه جدیدی از وزن ها برای یک DMU انتخاب می شود تا امتیازات بهره وری متقاطع DMUها بهبود یابد مجموعه جدید باید تضمین کند که بهره وری خود ارزیابی شده جدید DMU کوچک تر از امتیاز قبلی بهره وری متقاطع آن نباشد. اصل دوم. با در اختیار داشتن مجموعه ای از امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها زمانی که مجموعه جدیدی از وزن ها برای بهبود یک DMU انتخاب می شود به منظور بهبود امتیازات بهره وری متقاطع DMUها مجموعه جدید باید تضمین کند که سایر بهره وری های متقاطع DMU با مجموعه جدید نباید کوچک تر از امتیازات بهره وری متقاطعی که قبال ارائه شده اند باشند. 5

این دو اصل برای تمامی DMUها مورد نیاز هستند چرا که همگی برای نگهداری کران های پایین برای بهره وری های متقاطع خود دارای معنی و مفهوم هستند. حتی گاهی اوقات امکان دارد بهره وری CCR مورد نیاز DMUها باشند. در مدل های لیانگ )3111( وانگ و چین )3111( و دو کوک لیانگ و ژو )3112( نیز ممکن است اصول مشابهی ظاهر شوند. برای تصور بهتر روش خودمان تعریف زیر را بیان می کنیم. بهینه- تعریف 1. با در اختیار داشتن مجموعه ای از امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها چنانچه ایجاد هیچ امتیاز بهره وری متقاطع DMU بدون تولید دست کم یک امتیاز بهره وری متقاطع با وضعیت بدتر تحت اصول زیربنایی پیشنهاد شده فوق امکان پذیر نباشد ما این مجموعه امتیازات بهره وری متقاطع را به صورت بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها تعریف می کنیم. بر مبنای تئوری بهینگی پارتو DMUها می توانند در نظر بگیرند که آیا n مجموعه جدید وزنی را می توان انتخاب کرد که بدون ایجاد هیچ امتیاز بهره وری متقاطع بدتر بتوانند امتیازات بهره وری متقاطع خود را بهبود ببخشند. به منظور بررسی این که آیا یک مجموعه مفروض از امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو هستند مدل برآورد بهینگی پارتو )1( را پیشنهاد می کنیم. همان گونه که بعدا خواهیم دید یک نتیجه غیر صفر از این مدل به ما می گوید که بهره وری های متقاطع پارتو هستند و یک نتیجه صفر نیز یک گواه مستند و منطقی )نه جامع و فراگیر( از آن است که بهینه- پارتو نیستند. در مدل )1( {n } 1=,, یک مجموعه مفروض از امتیازات بهره وری متقاطع وجود دارد که باید ارزیابی شود. در الگوریتمی که باید در بخش بعد توسعه دهیم d(d=1,2,,n) در اصل مقادیری را می گیرد که از طریق بهره وری متقاطع اصلی میانگین d(d=1,2,,n) DMU به دست می آیند. در این مدل زمانی که DMU d وزن ها را انتخاب می کند بهره وری خود را حفظ می کند اما نه کمتر از امتیاز بهره وری متقاطع مفروض و مطابق با اولویت و حق تقدم. سپس تالش می کند تا سایر بهره وری های متقاطع مربوط به DMUها کوچک تر از امتیازات بهره وری متقاطع مفروض نباشند. در بیان مدل )1( برآورد بهینگی پارتو قضایای زیر را می توان اثبات کرد. قضیه 1. فرض کنید که j} {ω T d, μ T d, s d j, Z d, یک جواب بهینه مدل )1( و متناظر با DMU d باشد. اگر = 0 d Z باشد پس با حل مدل )1( برای هر k(1,2,,n) DMU داریم = 0 k Z k که Z مقدار بهینه مدل )1( است. اثبات. ω k = ω d (ω T d X k ), μ k = μ d (ω T d X k ), s k j = s d j (ω T d X k )(j = 1,2,, n) و.Z k = Z d به سادگی می توان اثبات کرد که: } k {ω T k, μ T k, s k j (j = 1,2,, n), Z یک جواب ممکن برای مدل )1( در زمانی است که این مدل برای هر DMU k حل شود. لذا به دست می آوریم: = 0 d.z k Z k = Z چون مشخص است که 0 k Z لذا باید داشته باشیم = 0 k.z 6

قضیه 2. اگر = 0 d Z باشد DMUها دارای قابلیت بهبود امتیازات بهره وری متقاطع خود بدون کاهش امتیازات بهره وری متقاطع هر DMU را دارند. اثبات. نتیجه قضیه 1 این است که اگر = 0 d باشد داریم: Z. Z k =,0 k بنابراین از گروه پنجم محدودیت مدل )1( می توانیم s j k 0, k, j را به دست آوریم. از گروه چهارم محدودیت مدل )1( می دانیم که برای هر j اگر 0 j باشد داریم j θ s k n d=1 n). θ μ T d Y j (ω T j 1 μ d X j )(d = 1,2,, بنابراین. در نتیجه داریم n) n d T Y j (ω T d X j ) θ j (j = 1,2,,, DMUها قابلیت آن را دارند که امتیازات بهره وری متقاطع خود را ارتقاء ببخشند تا از این طریق بهبود پارتو را بدون کاهش امتیاز بهره وری متقاطع هر DMU اجرا کنند. از قضایای 1 و 3 می توان مشاهده کرد که مدل )1( می تواند برای برآورد این که آیا یک مجموعه مفروض از امتیازات بهره وری متقاطع بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها هستند یا خیر مورد استفاده قرار می گیرد. اگر > 0 d Z باشد پس مجموعه مفروض از امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها نمی تواند توسعه پیدا کند در حالی که نگهداری امتیازات بهره وری متقاطع سایر DMUها نباید تحت دو اصل از پیش مشخص شده کوچک تر از سطوح مفروض آنها باشد و از این رو اینها بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها هستند. اگر 0=d Z باشد پس DMUها دارای قابلیت توسعه امتیازات بهره وری متقاطع از طریق بهبود پارتو هستند به گونه ای که این امتیازات بهره وری متقاطع نمی توانند بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها باشند و نیاز دارند که در آینده مورد بررسی قرار گیرند. 3-2 مدل توسعه پارتوی بهره وری متقاطع با استفاده از مدل )1( برآورد بهینگی پارتو می توانیم مشخص کنیم که آیا DMUها دارای قابلیت ایجاد امتیازات بهره وری متقاطع خودشان بدون ایجاد هیچ گونه امتیاز منفی بهره وری متقاطع را دارند. به منظور توسعه پارتو برای امتیازات بهره وری متقاطع که بهره وری های متقاطع توسعه پارتو برای DMUها نیستند مدل )9( توسعه پارتوی بهره وری متقاطع زیر را پیشنهاد می کنیم. از نتایج به دست آمده مدل )1( اگر Z j =.0 j می دانیم که مدل ) 9 (همیشه دارای جواب های ممکن است. عالوه بر این زمانی که توسعه بهره وری متقاطع برای DMU d ایجاد شود [این توسعه] تمایل به بیشینه سازی بهره وری DMU d دارد در حالی که نگه داری تمامی بهره وری های متقاطع DMUها بدتر از امتیازات بهره وری متقاطع فعلی آنها نیست. با حل مدل )9( هر DMU یک مجموعه جدید از وزن های ورودی و خروجی به دست خواهد آورد. این وزن ها برای اجرای بهتر هر دو فرآیند خود ارزیابی و ارزیابی جفتی مورد استفاده قرار می گیرند. با میانگین گیری امتیازات بهره وری خود ارزیابی و ارزیابی جفتی برای هر DMU d می توانیم متناظر بهره وری متقاطع بهبود یافته پارتو برای DMU را به صورتی که در رابطه )1( تعریف خواهد شد به دست آوریم. تعریف 2. } d را به عنوان یک جواب بهینه برای مدل )9( نسبت به DMU d در نظر بگیرید. برای هر DMU ω} T d, μ T j 7

به صورت بهره وری متقاطع بهبود یافته پارتو تعریف می شود. 4. الگوریتم و وزن های مشترک 2-1 الگوریتم در این بخش یک روش تکراری برای به دست آوردن بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها پیشنهاد می کنیم. ایده اصلی این الگوریتم آغاز با حل مدل )1( CCR رایج برای به دست آوردن امتیازات بهره وری متقاطع اصلی مربوط به DMUها است. سپس مدل )1( را برای DMUdحل می کنیم تا ببینیم آیا DMUها دارای قابلیت بهبودهای پارتو در امتیازات بهره وری متقاطع مربوط به خود را دارند یا نه. اگر DMUها دارای چنین پتانسیلی باشند به سراغ حل مدل )9( می رویم تا بهره وری متقاطع بهبود یافته پارتو را برای هر DMU به وسیله مدل )1( به دست آوریم. پس از آن بهره وری های متقاطع بهبود یافته پارتو به وسیله مدل )1( ارزیابی خواهند شد و این فرآیند تا هر تعداد که مورد نیاز باشد ادامه پیدا می کند. وقتی که تغییر در بهره وری متقاطع بهبود یافته پارتو طی تکرار برای هر DMU d در یک ε به همگرایی می رسد و یا بهره وری های متقاطع بهبود یافته پارتو به وسیله مدل )1( به عنوان بهینه پارتو تفسیر می شوند الگوریتم خاتمه پیدا می کند و ما بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها را به دست می آوریم. جزئیات این عملیات به شرح زیر تشریح می شود: گام 1. مدل )1( را حل کنید و مجموعه ای از امتیازات بهره وری متقاطع تعریف شده به وسیله مدل )3( را برای DMUها به دست آورید. T=1 و n) θ j = θ 1 j = E j (j = 1,2,, را در نظر بگیرید. گام 3. امتیازات بهره وری متقاطع مفروض برای مدل )1( و مدل )9( را به صورت (n θ j = θ j j) =,1,2, در نظر بگیرید. مدل )1( را حل کنید اگر جواب بهینه برای Z d دارای > 0 d باشد آنگاه توقف کنید. اگر برای d به = 0 d Z برسیم آنگاه مدل )9( را حل می کنیم تا یک مجموعه جدیدی از وزن های بهینه برای تمام DMUها انتخاب شود. سپس قرار دهید: که در آن } d ω} T d, μ T عبارتند از وزن های بهینه به دست آمده از طریق حل مدل )9(. گام 3. اگر برای برخی از مقادیر j داشته باشیم θ j θ 1+ j ε قرار دهید: =+1 و به گام 3 بروید. اگر برای تمامی jها داشته باشیم: θ j θ j +1 < ε آنگاه توقف. ما ادعا می کنیم که وقتی الگوریتم پیشنهادی خاتمه می یابد θ j به دست آمده طبق تعریفی که در قسمت تعریف 1 به عمل آوردیم همان بهره وری متقاطع بهینه- پارتو برای DMU j است. ضمن اهمیت دادن و تمرکز بر الگوریتم پیشنهادی قضیه های 3-9 زیر را ارائه می دهیم: قضیه 3. برای هر j=1,2,,n این طور در دست داریم که θها j برای =1,2,. غیر کاهنده اند و داریم: E j θ j E jj که در این رابطه E j و E jj به ترتیب عبارتند از امتیاز بهره وری متقاطع اصلی و امتیاز بهره وری CCR برای.DMU j ω} T d, μ T d را به صورت یک جواب بهینه برای مدل )9( در زمان توسعه DMU در نظر بگیرید. از محدودیت های موجود اثبات. } d در مدل )9( برای هر DMU j داریم: 8

به سادگی می توان مشاهده کرد که: یک جواب محتمل برای مدل )1( در زمانی است که یک DMU j در حال ارزیابی است. بنابراین برای هر d=1,2,,n داریم: از رابطه فوق می توان به دست آورد: بنابراین چنین به دست می آوریم که: لذا برای تمام θها j j=1,2,,n برای,1,2= غیر کاهشی هستند و رابطه زیر را برقرار می کنند: قضیه 4. برای هر j=1,2,,n اگر اثبات. اگر E j = θ 1 j θ j E jj θ j ها بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو نباشند θها j برای.,1,2= افزایشی هستند. θها j بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو نباشند پس با توجه به تعریف 1 باید داشته باشیم: ω} T d, μ T d یک جواب محتمل متناظر با DMU در زمانی است که با استفاده از مدل )9( در حال توسعه است. پس به سادگی می که } d توان مشاهده کرد که نیز یک جواب محتمل مدل )9( در زمانی است که DMU j توسعه یافته است. این بدین معنی است که ما داریم: ω} T j, μ T j جواب بهینه مدل )9( در زمانی است که DMU در حال توسعه است. از قبل داریم: که } j بنابراین داریم: که } d {ω T θ j = θ j μ T d Y j (ω T d, μ T جواب بهینه همچنین توجه داشته باشید که ما از قبل نیز داشتیم: (j d X j,d )( d متناظر با DMU d در زمانی است که در حال توسعه با استفاده از مدل )9( است. لذا به دست می آوریم: بنابراین برای هر j=1,2,,n اگر قضیه 5. برای هر d=1,2,,n بهره وری های خود ارزیابی شده θها j بهره وری های متقاطع بهینه-پارتو نباشند پس θها j برای,1,2= در حال افزایش هستند. E dd برای,1,2= غیر افزایشی هستند. در اینجا E dd به صورت E dd = (μ d ) T Y d DMU d تعریف گردیده است که موجود در ا مین تکرار الگوریتم. همچنین داریم: μها d عبارتند از وزن های خروجی بهینه به دست آمده به وسیله مدل )9( برای 9

ω)} d ) T, μ) d ) T d را به عنوان یک جواب بهینه مدل )9( در زمانی در نظر بگیرید که DMU در حال توسعه در ا مین اثبات. } θ +1 تکرار الگوریتم است. همان گونه که در قضیه 3 نیز تعریف شد j θ j است که بدین معنی است که برای هر DMU d که در حال توسعه است ناحیه محتمل مدل )9( در تکرار (1+) یک زیرمجموعه از ناحیه محتمل مدل )9( در تکرار به شمار می رود. لذا یک جواب محتمل مدل )9( است که متناظر با DMU d موجود در ا مین تکرار الگوریتم می باشد. به سادگی می توان مشاهده کرد که برای هر ω)} d ) T, μ) d ) T } نیز یک جواب محتمل برای مدل )1( به شمار می آید. بنابراین داریم: همچنین به سادگی می توان دریافت که برای هر و k داریم: که از آن می توانیم به این رابطه برسیم: بنابراین بر اساس استنتاج های فوق داریم: قضیه 6. اگر الگوریتم در گام 3 و در ا مین تکرار الگوریتم خاتمه پیدا کند برای هر d=1,2,,n بهره وری متقاطع بهبود- پارتو و بهره وری خود ارزیابی DMU d به یک مقدار یکسان یعنی θ d = E dd = θ d همگرایی پیدا می کند. ω)} d ) T, μ) d ) T d را یک جواب بهینه مدل )9( برای DMU در تکرار ام الگوریتم در نظر بگیرید. اگر الگوریتم در این اثبات. } +1 θ d = θ پس می توانیم نشان دهیم که θ d = μ T. d Y d = E dd این می تواند به تکرار دچار همگرایی شود یعنی d = θ d سادگی حل شود. چنانچه در مدل )9( d θ d < μ T d Y باشد پس با اضافه کردن می توانیم داشته باشیم: این خالف تساوی θ d = μ T. d Y d = E dd θ +1 d = θ d است. از این رو داریم: قضیه 3. بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو تولید شده نهایی برای DMUها یک جواب بهینه- پارتو ایجاد می کنند. اثبات. الگوریتم یا در گام 3 و یا در گام 3 خاتمه می یابد. اگر الگوریتم در گام 3 پایان بپذیرد n مجموعه جدید از وزن ها نمی تواند به وسیله الگوریتم انتخاب شود تا امتیازات بهره وری متقاطع DMUها را توسعه بخشد بدون آن که دست کم یکی از امتیازات بهره وری متقاطع وضعیت بدتری داشته باشد. بنابراین با تعریف بهینگی پارتو بهره وری های متقاطع بهبود یافته پارتوی تولید شده نهایی بهینه 1+ θ. ولی اگر بهره وری های متقاطع بهبود یافته پارتوی تولید پارتو هستند. اگر الگوریتم در گام 3 به همگرایی برسد داریم: d = θ d 1+ θ. بنابراین بهره وری های متقاطع بهبود یافته پارتوی تولیدی برای شده نهایی بهینه پارتو نباشند از قضیه 3 می دانیم که: d < θ d DMUها یک جواب بهینه- پارتو ایجاد می کند. 10

قضیه 3 نشان می دهد که بهره وری بهبود پارتوی θ d برای هر DMU j غیر کاهشی است و در خالل فرآیند بین امتیاز بهره وری متقاطع اولیه E j و بهره وری CCR یعنی E jj احاطه گردیده است. قضیه 2 نشان می دهد که بهره وری بهبود یافته پارتو θ j برای هر DMU j پیش از آن که به بهره وری متقاطع بهینه- پارتو برسد افزایش پیدا می کند. این قضایا اطمینان می دهند که الگوریتم در میان یک تعداد متناهی از گام ها خاتمه پیدا خواهد کرد و امتیازات بهره وری متقاطع DMUها با پیشرفت الگوریتم بهبود پیدا می کنند. قضیه 2 نشان می دهد که بهره وری های خود ارزیابی شده DMUها در خالل اجرای فرآیند افزایش پیدا نمی کنند. در هر تکرار الگوریتم بهره وری های خود ارزیابی شده DMUها کوچک تر از بهره وری های ارزیابی شده به صورت یگانه )بهره وری های متقاطع بهبود- پارتو( نیستند. قضیه 1 بیان می کند که اگر الگوریتم در گام سوم به پایان برسد بهره وری خود ارزیابی شده و بهره وری ارزیابی شده به صورت جفتی مربوط به هر DMU در یک امتیاز بهره وری یکسان به همگرایی می رسند )و قضیه 9 نیز حاکی از آن است که این امتیاز امتیاز بهره وری متقاطع بهینه- پارتوی DMUها نیز هست(. می توانیم همگرایی الگوریتم را به صورت نوعی بده بستان قلمداد کنیم که در آن بهره وری خود ارزیابی شده هر DMU کاهش پیدا کرده تا بهره وری ارزیابی شده جفتی آن افزایش یابد. این گونه بده بستان زمانی متوقف می گردد که بهره وری خود ارزیابی شده و بهره وری ارزیابی شده به صورت یکجا در یک مقدار مشابه و یکسانی همگرا شوند. قضیه 9 نشان می دهد که امتیازات بهره وری متقاطع تولد شده نهایی برای DMUها یک جواب بهینه- پارتو ایجاد می کند. از این رو در فرآیند ارزیابی بهره وری متقاطع DEA الگوریتم پیشنهادی یک مجموعه بهره وری متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها تولید می کند. عالوه بر این اگر الزم به تضمین این مطلب باشد که سایر امتیازات بهره وری متقاطع DMUها مساوی یا باالتر از سطوح فعلی باشند امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUها دیگر نمی توانند توسعه پیدا کنند. گذشته از این اگر الگوریتم در گام سوم به پایان برسد بهره وری خود ارزیابی شده و بهره وری ارزیابی شده جفتی مربوط به هر DMU در یک بهره وری متقاطع بهینه- پارتوی یکسان به همگرایی می رسند. این یک اتفاق شگفت انگیز است چرا که بهینگی پارتوی نتایج و یکسان سازی آن با خود ارزیابی و ارزیابی یکجا برای DMUها سبب می شوند که نتایج ارزیابی از مقبولیت بیشتری برای DMUها برخوردار باشند یعنی DMUها دارای ادله بیشتری برای باور به بی طرفی ارزیابی هستند. 4-2 وزن های مشترک در این بخش تصور می کنیم که اگر الگوریتم پیشنهادی در گام 3 به پایان برسد وزن های مشترکی برای DMUها ظاهر می شوند. نخست قضیه 1 و استنباط 1 را در زیر مطرح می کنیم. قضیه 8. اگر الگوریتم در گام 3 مربوط به ا مین تکرار به پایان برسد بهره وری های متقاطع یک DMU تولید شده از سایر DMUها همگی برابر با بهره وری متقاطع بهینه- پارتوی آن هستند یعنی برای هر d=1,2,,n و k=1,2,,n داریم: ω} T k, μ T k وزن های بهینه تولید شده از مدل )9( برای DMU در ا مین تکرار الگوریتم می باشند. که در این رابطه } k اثبات. این قضیه را می توان با استفاده از رفع ابهام حل کرد. اگر الگوریتم ما در تکرار ا م به همگرایی برسد برای هر d داریم:.θ d = θ +1 در مدل )9( برای هر k نیز داریم: d = θ d اگر به ازاء هر k و برای یک DMU d پس برای این DMU θ d < μ T k Y d (ω T d داریم: داشته باشیم: ) d k X 11

این در تضاد با رابطه θ +1 d = θ d است. بنابراین برای هر d و k داریم: در نتیجه اثبات قضیه 1 وزن بهینه مشترک به سادگی و به صورت زیر نتیجه می شود. استنباط 1. اگر الگوریتم در گام 3 به پایان برسد باید مجموعه ای از وزن های مشترک } T ω} T, μ وجود داشته باشد که بتواند برای کلیه jها به هدف ما که عبارت است از: دست پیدا کند که θ j بهره وری متقاطع بهینه پارتوی DMU j می باشد. قضیه 1 و استنباط 1 نشان می دهند که اگر الگوریتم در گام 3 به پایان برسد تمامی DMUها بهره وری های متقاطع مشابه برای DMUها درست می کنند. وزن های بهینه هر DMU می توانند به صورت مجموعه ای از وزن های مشترکی مشاهده شوند که می توانند بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو را برای DMUها ایجاد کنند. ولی در اینجا باید بر این نکته نیز اشاره شود که DMUها از محدودیت های مختلفی (1 = d ω) T d X برای جلوگیری از بروز جواب های جزئی در مدل )9( استفاده می کنند. این می تواند منجر به ایجاد وضعیتی گردد که مجموعه وزن های بهینه انتخاب شده به وسیله مدل )9( برای هر DMU مضربی از مجموعه وزن های مشترک باشد یعنی: که یک ضریب است و } T ω} T, μ مجموعه ای از وزن های مشترک می باشد. خوشبختانه این بر خصوصیت وزن مشترک متعلق به وزن های بهینه تأثیر نمی گذارد چرا که وزن های بهینه موجود در DEA تنها منعکس کننده اهمیت نسبی هستند که DMU برای ورودی )ها( و خروجی )ها(ی متناظر خود در زمان ارزیابی بهره وری قائل است )چارنز و کوپر 1713 (. به این ترتیب می توانیم وزن های مشترک DMUها را با استفاده از استانداردسازی وزن های بهینه هر DMU d و از طریق معادالت زیر نمایش دهیم: 4-3 مثال عددی به منظور تجسم نمودن مدل های ارزیابی بهره وری متقاطع بهینه- پارتو و الگوریتم پیشنهادی باال از یک مثال عددی کوچک از لیانگ )3111( استفاده می کنیم که مشتمل بر پنج DMU است. هر DMU دارای سه ورودی و دو خروجی است که در جدول 1 نمایش داده شده است. 12

DMUها را با استفاده از مدل )1( CCR مدل )3( بهره وری متقاطع رایج مدل )2( خیرخواهانه مدل )2( تهاجمی و الگوریتم پیشنهادی مورد ارزیابی قرار می دهیم. نتایج ارزیابی ها در جدول 3 فهرست شده اند. عالوه بر این در زمان پایان یافتن الگوریتم وزن های بهینه تمام DMUها را با استفاده از روابط )7( و )11( استانداردسازی کرده ایم که نتایج حاصل از آن نیز در جدول )3( نشان داده شده اند. از نتایج پیداست که امتیازات بهره وری متقاطع برای DMUهای تولید شده از مدل های )3( )2( و )2( بهینه- پارتو نیستند چرا که آنها هنوز جای توسعه دارند. برای اقدام از مدل پیشنهادی برای توسعه امتیازات بهره وری متقاطع تمامی DMUها استفاده می کنیم و شکل )1( فرآیند توسعه و ارتقاء بهره وری را نشان می دهد. همان گونه که از شکل )1( می توان مالحظه کرد الگوریتم پیشنهادی بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای تمامی DMUها را پس از هشت دور تکرار به دست آورده است. به عنوان نمونه DMU1 را در نظر بگیرید که در خالل فرآیند بهره وری متقاطع بهبود پارتوی آن افزایش و بهره وری حاصل از خود ارزیابی آن کاهش پیدا می کند. در پایان الگوریتم بهره وری متقاطع متناظر با بهره وری حاصل از خود ارزیابی آن )1/2912( است که به صورت بهره وری متقاطع بهینه- پارتو برای DMU1 تعریف می گردد. عالوه بر این زمانی که الگوریتم پایان می یابد یک مجموعه مشترک از وزن ها برای بهره وری های متقاطع بهینه- پارتوی DMUها به دست می آید. 13

14

5. کاربرد در زمینه انتخاب پروژه R&D و ارزیابی میزان بهره وری خانه های پرستار در این بخش مدل خود را از طریق پیاده سازی آن در روند انتخاب پروژه و ارزیابی میزان بهره وری خانه های پرستاری به تصویر می کشیم. 5-1 گزینش پروژه R&D 39 پروژه R&D مشتمل بر یک ورودی و پنج خروجی مورد استفاده قرار گرفتند که در جدول )2( معرفی شده اند )مثال از ا رال ک تانی و النگ 1771(. در اینجا باید به این نکته اشاره کرد که DMUها با یکدیگر در حال رقابت هستند چرا که همه آنها در پی جذب 15

سرمایه و حمایت از پروژه های خود هستند )لیانگ 3111 (. لذا ما نیاز به آن داریم که مجموعه ای از امتیازات بهره وری متقاطع در اختیار داشته باشیم که هر DMU بتواند به درست بودن آن شهادت دهد و بدین ترتیب موافقت حاصل گردد. X1: بودجه ها Y1: مشارکت غیر مستقیم اقتصادی Y2: مشارکت مستقیم اقتصادی Y3: مشارکت فنی Y4: مشارکت اجتماعی Y5: مشارکت علمی بودجه های ورودی در واحدهای پولی بیان شده اند. خروجی ها بر مبنای میانگین امتیازات به دست آمده به کمک روش دلفی تنظیم شده اند. جزئیات بیشتر در زمینه ورودی ها و خروجی را می توان از ا رال )1771( جویا شد. 16

جدول )2( نتایج ارزیابی الگوریتم پیشنهادی و مدل های رایج را نشان می دهد. همان گونه که می توان از نتایج نیز مشاهده کرد امتیاز بهره وری متقاطع هر DMU که از مدل )3( تولید شده بزرگ تر از امتیازی است که از مدل )2( به دست آمده و کوچک تر از امتیاز حاصل از مدل )2( می باشد. این امر با ویژگی های دلخواه خیرخواهانه و تهاجمی مدل های رایج نیز موافق است. عالوه بر این در مقایسه با نتایج حاصل از مدل های رایج الگوریتم پیشنهادی امتیازات بهره وری متقاطع باالتری را برای DMUها تولید می کند چرا که بهینگی پارتوی امتیازات بهره وری متقاطع بدون کاهش برخی از امتیازات بهره وری متقاطع DMU دیگر توسعه پیدا نمی کند. همچنین زمانی که الگوریتم متوقف می گردد یک مجموعه مشترکی از وزن ها برای بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو برای DMUها به دست می آوریم که در جدول )1( نیز فهرست شده اند. 17

در جدول )9( نتایج مربوط به گزینش پروژه R&D با استفاده از بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو نشان داده شده اند. همچنین نتایج به دست آمده با کمک روش های ا رال )1771( و گرین )1771( را نیز نشان داده ایم. بر پایه قانون انتخاب پروژه گرین )1771( پروژه ها بر مبنای کاهش امتیازات بهره وری متقاطع DMUها و با توجه به این الزام که مجموع بودجه پروژه ها نمی تواند از 1111 تجاوز کند انتخاب می شوند. همان گونه که از نتایج می توان مشاهده کرد روش ما 19 پروژه مشابه با گرین را انتخاب کرده است. مجموع بودجه برای این انتخاب معادل 713/7 است. روش ما در مقایسه با نتایج انتخاب شده به وسیله روش ا رال پروژه 33 )بهره وری متقاطع بهینه- پارتو: 1/1131( و پروژه )1/2313( 13 را انتخاب کرد در حالی که روش آنها در عوض پروژه )1/2211( 2 را انتخاب کرد. بنابراین با مابقی بودجه روش ما می تواند با هدف انتخاب پروژه به پروژه هایی دست پیدا کند که دارای امتیازات بهره وری متقاطع کمی باالتر از روش رایج پیشنهاد شده از سوی ا رال )1771( هستند. عالوه بر این مجموع بودجه روش ما بیشتر از روش ا رال است و یک پروژه دیگر این شانس را دارد تا در برنامه پروژه حضور داشته باشد. این حاکی از آن است که شانس بیشتری فراهم گردیده و منابع بیشتری برای کاندیداهای موجود در برنامه گزینش ها مصرف می شوند. عالوه بر این رویکرد ما در نهایت DMUها را با یک مجموعه مشترک از وزن ها مورد ارزیابی قرار می دهد. این سبب می گردد که نتایج ارزیابی و نتایج گزینش پروژه R&D از مقبولیت بیشتری از سوی DMUها برخوردار باشند. 5-2 ارزیابی بهره وری خانه های پرستاری همان گونه که در جدول )1( نیز فهرست شده است هر خانه پرستاری دارای دو ورودی )X1 و X2( و دو خروجی )Y1 و Y2( است )مثال از سکستون 1711 (..1.3 :SHr(X1) ساعت- همکار در روز شامل پرستاران پزشکان و... :Supp(X2) تدارکات در روز اندازه گیری شده به هزار دالر 18

.3.2 :MCPD(Y1) مجموع هزینه های پزشکی و درمانی پرداختی بجای بیمار در هر روز :PPPD(Y2) مجموع پرداختی شخصی بیمار برای روزهای درمان جدول )7( نتایج ارزیابی شش خانه پرستاری را نمایش می دهد. همسو با آن ما وزن های مشترک برای بهره وری های متقاطع بهینه- پارتوی DMUها را در جدول )11( نشان می دهیم. همان طور که از نتایج می توان مشاهده کرد الگوریتم پیشنهادی امتیازات بهره وری متقاطع تولید شده از مدل )3( را توسعه داده و سرانجام امتیازات بهره وری متقاطع باالتری )در واقع بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو( را برای تمامی DMUها تولید کرده است. عالوه بر این جدا از DMU c تمامی بهره وری های متقاطع بهینه- پارتوی DMUهای دیگر بزرگ تر از بهره وری های متقاطع بهینه- پارتوی تولید شده توسط مدل )2( خیرخواهانه هستند. این نشان می دهد که توان توسعه بهره وری مدل )2( خیرخواهانه ضعیف تر از الگوریتم پیشنهادی است. عالوه بر این DMUها در پایان از یک مجموعه مشترک وزن ها برای اجرای ارزیابی بهره وری در الگوریتم ما استفاده می کنند که باعث می شود نتایج ارزیابی از مقبولیت بیشتری نزد تمام DMUها برخوردار باشد. 6. نتیجه گیری به دلیل توانایی خوب در ارزیابی و رده بندی DMUها ارزیابی بهره وری متقاطع DEA به طور گسترده ای در یک طیف وسیع از حوزه های گوناگون اجرا می گردد. با این وجود مشکلی که می تواند با این شیوه ارزیابی ایجاد گردد این است که ممکن است تمام DMUها امتیازات حاصل از این ارزیابی متقاطع را به عنوان امتیاز اندازه بهره وری خود نپذیرند آنها ممکن است روایی و اعتبار امتیازات را رد کنند چرا که امتیازات بهره وری متقاطع رایج معموال با جواب های بهینه- پارتو سازگاری ندارند. به منظور حل این مشکل ابتدا یک مدل برآورد بهینگی پارتو پیشنهاد کردیم تا مشخص شود آیا یک مجموعه مفروض از امتیازات بهره وری متقاطع تحت اصول انتخاب وزن جواب های بهینه- پارتو هستند یا خیر. در مرحله دوم یک مدل بهبود پارتوی بهره وری متقاطع معرفی کردیم تا بهبود پارتوی امتیازات بهره وری متقاطع DMUها را انجام دهد. و سرانجام بر پایه این دو مدل یک الگوریتم پیشنهاد گردید تا بهره وری های متقاطعی تولید شوند که به عنوان بهینه پارتو برای DMUها به اثبات برسند و نتوانند بیش از این توسعه پیدا کنند. روشی که ما ارائه کردیم دست کم چهار مزیت برای ارزیابی بهره وری متقاطع دارد. اول این که به دلیل بهینگی پارتوی ارزیابی های متقاطع تولید شده از مقبولیت بیشتری نزد تمام DMUها برخوردار است. دوم این که مثال عددی نشان می دهد که الگوریتم پیشنهادی دارای توان خوبی در زمینه بهبود امتیازات حاصل از بهره وری متقاطع DMUها است. سوم این که اگر الگوریتم پیشنهادی در گام 3 متوقف گردد رویکرد پیشنهادی DMUهایی با بهره وری متقاطع بهینه- پارتو تولید خواهد کرد که خود ارزیابی ارزیابی جفتی و ارزیابی وزن مشترک را به طور یکپارچه درخواهد آورد. به طور خاص بهره وری خود ارزیابی شده و بهره وری ارزیابی شده جفتی برای هر DMU در یک بهره وری ارزیابی شده وزن مشترک به همگرایی می رسند که برای DMU یک بهره وری متقاطع بهینه- پارتو به شمار می رود. در نهایت اگر الگوریتم در گام 3 به پایان برسد و متوقف گردد پس یک مجموعه کلی از وزن ها می 19

تواند مشخص شود که بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو را تولید می کند که این امر دلیل محکم تری برای تمام DMUها در راستای پذیرش نتایج ارزیابی است. ما از نتایجی که به دست می آوریم دو راستای پژوهشی دیگر پیشنهاد می کنیم. نخست این که بهره وری های متقاطع بهینه- پارتو به وسیله الگوریتم تولید شده اند در حالی که دو اصل اساسی معرفی شده را برقرار نگه می دارند. ما امیدواریم که بهره وری های متقاطع بهتری بدون محدودیت در این اصول و مبانی پیدا شوند. دوم این که یکپارچه سازی )تحت شرایط خاص( خود ارزیابی ارزیابی یکجا و ارزیابی وزن مشترک که در این مقاله مشاهده گردید یک مسیر پژوهشی جدید برای ارزیابی بهره وری متقاطع فراهم می کند. قدردانی ها نویسندگان از ویراستار )پروفسور رابرت د یسون دستیار در امر ویرایش( و دو مرور کننده بدون نام که کیفیت این مقاله را به طور چشمگیری ارتقاء داده اند تقدیر و تشکر به عمل می آورند. این پژوهش از سوی بنیاد ملی علوم طبیعی چین ( به شماره 91333111 و 91111119132( بنیاد پژوهشی برای برنامه دکترا در مقاطع باالی چین )به شماره 31133213111131( بنیاد سرمایه گذاری برای پایان نامه های دکترای عالی جمهوری خلق چین )به شماره 311397( و بنیاد پژوهش های زیربنایی برای دانشگاه های مرکزی )به شماره )WK2040160008 مورد حمایت قرار گرفته است. 20